已知函数f(x)=(2^x-a)^2+(2^-x+a)^2,x∈[-1,1]

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/25 22:17:15
已知函数f(x)=(2^x-a)^2+(2^-x+a)^2,x∈[-1,1]
1 求f（x）的最小值
2关于x的方程f（x）=2a^2有解，求实数a的取值范围
很急！题目有难度的！

令t=2^x
∴f(x)=(2^x-a)^2+(2^-x+a)^2=(t-a)^2+(t+a)^2
=t^2+t^(-2）+2a(1/t-t)+2a^2
令m=1/t-t
∵t^2+t^(-2）=(1/t-t)^2-2
∴f(x)=m^2+2+2am+2a^2
=(m+a)^2+a^2+2
∵x∈[-1,1]
∴t∈[1/2,2]
∴m∈[-3/2,3/2]
当a<-3/2时
f(x)min=(3/2+a)^2+a^2+2
当a>3/2时
f(x)min=(-3/2+a)^2+a^2+2
当a∈[-3/2,3/2]时
f(x)min=a^2+2

∵f(x)=m^2+2+2am+2a^2=2a^2
∴m^2+2+2am=0
∴a=(m^2+2)/(2m)=2/m+m/2
又m∈[-3/2,3/2]
∴a<-25/16或a>25/16

令t=2^x
∴f(x)=(2^x-a)^2+(2^-x+a)^2=(t-a)^2+(t+a)^2
=t^2+t^(-2）+2a(1/t-t)+2a^2
令m=1/t-t
∵t^2+t^(-2）=(1/t-t)^2-2
∴f(x)=m^2+2+2am+2a^2
=(m+a)^2+a^2+2
∵x∈[-1,1]
∴t∈[1/2,2]
∴m∈[-3/2,3/2]
当a<-3/2时
f(x)min=(3/2+a)^2+a^2+2
当a>3/2时
f(x)min=(-3/2+a)^2+a^2+2
当a∈[-3/2,3/2]时
f(x)min=a^2+2

∵f(x)=m^2+2+2am+2a^2=2a^2
∴m^2+2+2am=0
∴a=(m^2+2)/(2m)=2/m+m/2
又m∈[-3/2,3/2]
∴a<-25/16或a>25/16

强